按按钮题解

在量体温，打不了代码，来写题解。

赞美 lwq，三句话让我跟上了课堂节奏。

题意

数轴 $n$ 个按钮，第 $i$ 个按钮在坐标 $i$ 。有 $m$ 次询问， $i$ 询问为在时刻 $t_i$ 按下 $b_i$ 。

可以在时刻 $0$ 安排一些机器人，机器人可以花 $1$ 单位时间向左或右移动 $1$ 个单位。机器人按下按钮不需要时间。

问最初最少安排多少个机器人。

Solution

每个按钮在被按后，改点的机器人可以走到的范围是一个区间。

[b_i+Max-t_i,b_i-(Max-t_i)]

其中 $Max$ 为最大的 $t_i$ 。

接着，如果这些区间里存在一些小区间被一个大区间完全覆盖，那么这些小区间的任务可以都交给一个机器人去做。

思路到此就很清晰了，即求一个最小集，这个集合里都是互不完全包含的区间。答案即这个集合的大小。

怎么做呢？

区间按左端点从小到大、右区间从大到小排序，然后树状数组处理一下就好了。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define ft first
#define sd second

const int N=5e6+5;

int n,m;
int t[N],b[N];
pii a[N];
int tr[N];
int tmp[N],tot;
map<int,int> Hs;

void add(int x,int k) {for(;x<=tot;x+=x&-x)tr[x]=max(tr[x],k);}

int query(int x) {int c=0;for(;x;x-=x&-x)c=max(c,tr[x]);return c;}

bool cmp(pii x,pii y)
{
    if(x.ft!=y.ft)
        return x.ft<y.ft;
    return x.sd>y.sd;
}

signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    int Max=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%lld",&t[i]),Max=max(Max,t[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld",&b[i]);
        tmp[++tot]=b[i]-(Max-t[i]);
        tmp[++tot]=b[i]+Max-t[i];
    }
    sort(tmp+1,tmp+tot+1);
    for(int i=1;i<=tot;i++)
        Hs[tmp[i]]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        a[i].ft=Hs[b[i]-(Max-t[i])];
        a[i].sd=Hs[b[i]+Max-t[i]];
    }
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++)
        add(a[i].sd,query(a[i].sd-1)+1);
    printf("%lld\n",query(tot));
    return 0;
}