浅谈 AC 自动机

前言

这不是第一次看到这个算法。第一次是在 OI-wiki 上瞄到的。当时我还是一个什么也不懂的初一蒟蒻，看到这个名字就十分兴奋：“‘AC 自动机’耶！是不是可以帮我自动 AC ！?”

后来看到只是一个字符串算法，就离开了。今天上课讲了这个，感觉原理及实现没有后缀数组那么难（还没做几道应用题）。趁一节晚修，来写篇笔记吧。

食用指南：要先学会 Trie树；KMP的话，理解到思想（$\text{next}$ 数组）就可以了，不一定要学得透透的。

AC 自动机到底是什么？

AC 自动机是 以 Trie 的结构为基础，结合 KMP 的思想 建立的自动机。

之所以称为 AC 自动机，是因为此算法是由 Alfred V. Aho 和 Margaret J.Corasick 发明的，称为 Aho–Corasick 算法。

所以他不是 Automation，更不是 Accepted，而是 Automaton（自动机）。

AC 自动机可以用来干什么？

他是处理字符串的算法。

具体的，他可以解决多模式匹配的问题。

KMP 算法也是解决字符串匹配的，但他处理的问题只有一个模式串（需要寻找的串）和一个文本串（在这个串里寻找）。

而 AC 自动机，就可以解决多模式串匹配的问题。

算法思路

简单来说，建立一个 AC 自动机有两个步骤：

1. Trie 结构：将所有的模式串构建成一棵 Trie 树。
2. KMP 的思想：在 KMP 中，一旦失配，就跳到 $\text{next}$ 失配指针所指的下一个字符；所以 AC 自动机中，也要对整颗 Trie 树所有节点构造失配指针。

那我们现在就开始吧。

Trie 树

回忆一下 AC 自动机的思路：首先把所有的字符串全部丢进 Trie 树里面，然后再在 Trie 树上构建自动机。

这个 Trie 树构建就很简单了，该怎么建就怎么建。详细内容可以看我的其他博客。

这里有一些需要理解的，就是一个节点到根节点的路径正是一个（或多个）模式串的前缀。

下文也把节点 $x$ 到根节点的路径上的字符串称为状态 $x$。

失配指针

首先要明确一点：这里的“指针”并不是 C++ 中真正的“指针类型”，只是一个形象化的称号。

AC 自动机通过失配指针（下文称为 $\text{fail}$ 指针）来辅助多模式串的匹配。

与 KMP 的 $\text{next}$ 失配指针关系

• 相同点：两者同样是在失配的时候用于跳转的指针。
• 不同点：$\text{next}$ 求的是最长的相同前后缀；而 $\text{fail}$ 指针指向所有模式串的前缀中与当前节点“匹配”的“最长后缀”。

等等！这个“匹配”和这个“最长后缀”都是些什么东西？

先解释一下 $\text{fail}$ 指针吧。

如果状态 $x$ 的 $\text{fail}$ 值是状态 $y$，要求是：$y$ 是 $x$ 的最长后缀。

用人话说，就是：

先规定从节点 $x$ 到根节点路径上形成的字符串为 $\text{sub}(x)$；这个字符串中，第一个是根节点，最后一个是 $x$ 节点上的字母。

如果 $\text{sub}(y)$ 正好是 $\text{sub}(x)$ 的后缀，并且不存在任意一个 $\text{sub}(y’)$ 的长度大于 $\text{sub}(y)$ 的长度。

那么 $\text{fail}(x)=y$。

举个例子：

如果以 i,he,his,she,hers 这些单词构建 $\text{fail}$ 指针：

假设紫圈是 $3$ 号节点，红圈是 $7$ 号节点，那么 $\text{fail}[3]=7$。

因为 she 的最长后缀（整棵 Trie 中）是 he。

如果你看到这里，还是看不懂与KMP的区别，不要紧；你只需知道 AC 自动机的失配指针指向当前状态的最长后缀状态即可。

有一点提一下，AC 自动机在做匹配时，同一位上可匹配多个模式串。

构建 $\text{fail}$ 指针

构建 $\text{fail}$，可以参考 KMP 中构建 $\text{next}$ 的思想。

假设字典树中当前节点为 $u$，父节点为 $fa$，并且 $\text{sub}(u)=\text{sub}(fa)+c$（记为 $\text{trie}[fa,c]=u$）我们考虑深度比 $u$ 小的节点的 $\text{fail}$ 都已得到。

1. 如果 $\text{trie}[\text{fail}[fa],c]$ 存在，则 $\text{fail}[u]=\text{trie}[\text{fail}[fa],c]$。相当于分别在 $fa$ 和 $\text{fail}[fa]$ 下面加了一个字符 $c$，分别对应 $u$ 和 $\text{fail}[u]$。
2. 如果 $\text{trie}[\text{fail}[fa],c]$ 不存在，则继续寻找 $\text{trie}[\text{fail}[\text{fail}[fa]],c]$。重复 1 的判断，一直跳到根节点。
3. 一直跳到了根节点都没有，那就让 $\text{fail}[u]$ 指向根节点。

通过以上过程就可以完成 $\text{fail}$ 的构建。

代码实现构建 $\text{fail}$ 指针

尽管网上有许多实现方式，这里我们来看一下 OI-wiki 上的一种实现。

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void build() {
  for (int i = 0; i < 26; i++)
    if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);
  while (q.size()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
      if (tr[u][i])
        fail[tr[u][i]] = tr[fail[u]][i], q.push(tr[u][i]);
      else
        tr[u][i] = tr[fail[u]][i];
    }
  }
}

这里的 tr[u,c] 有两种理解方式：

1. 字典树上的一条边，即 $\text{trie}[u,c]$。
2. 状态（节点） $u$ 后加一个字符 $c$ 到达的新节点（状态）。

这里采用第 2 种方式讲解。

先讲一下这两行为什么这么写：

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for (int i = 0; i < 26; i++)
    if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]);

我们为什么是把根节点的儿子入队，而非直接把根节点入队呢？

试想一下，如果将根节点入队，那么第一次 bfs 的时候根节点儿子的 $\text{fail}$ 指针就会指向自己。

常规 bfs 这里就不提及了，主要讲一下 for 循环中的 if 与 else 的“神仙实现”。

for 循环为什么这么写？——“神仙操作”，路径压缩

先解释一下代码最基础的意思：

1. 如果 tr[u][i] 存在，我们就将 tr[u][i] 的 $\text{fail}$ 指针赋值为 tr[fail[u]][i]。
2. 否则，令 tr[u][i] 指向 tr[fail[u]][i]。

操作 1 貌似和上文讲的不太一样啊？——

根据上文，不应该是用 while 循环不停地跳、跳、跳 $\text{fail}$ 指针，直到存在字符 i 对应的节点后再赋值吗？而且 else 里的操作直接改变了树的结构了呀？！！

其实这里做了一点“神仙处理”。

这个处理就是通过 else 改变字典树的结构。但值得注意的是，尽管我们将一个不存在的节点添加了一些指向关系，但是节点所代表的的字符串还是不变的。

由于 tr[S][c] 表示在 $S$ 后增加一个字符 $c$ 得到新字符串 $S’$，这里要考虑 $S’$ 是否存在。

• 存在，说明有某个模式串的前缀为 $S’$。
• 不存在，让 tr[S][c] 指向 tr[fail[S]][c]。这是因为 fail[S] 对应的字符串是 $S$ 的后缀，那么 tr[fail[S]][c] 对应的字符串也就是 $S’$ 的后缀。

但为什么可以这么写？

在 Trie 树上跳的时候，是从 $S$ 跳到了 $S’$；但是在 AC 自动机上，是从 $S$ 跳到了 $S’$ 的后缀。——因为 AC 自动机本质上是为了匹配，舍弃掉前面一些前缀也是可以匹配的，所以这里没有问题。

溯回本源，我们这个 Build() 说到底是在构建 $\text{fail}$，现在我们来考虑一下 $\text{fail}$ 是否也满足“舍弃前缀依然可匹配”这一推论。

显然可以，一旦文本串匹配 $S$，自然能匹配 $S$ 的后缀。所谓的 $\text{fail}$ 指针其实是 $S$ 的一个后缀集合。

什么？还是看不懂？其实还有一种简单粗暴的理解方式。

简单粗暴的理解

如果在位置 $x$ 失配，我们跳到 $\text{fail}[x]$。因此有的时候需要跳、跳、跳很多次才能来到下一个匹配的位置。

所以我们可以用 tr 数组直接记录下一个能匹配的位置，以省时间。

本质上，与并查集路径压缩一样，这其实就是一种路径压缩。

“神仙操作”的好处

通过这种修改过后，匹配转移更加的完善，同时将 $\text{fail}$ 指针跳转路径做了压缩。

这里本来想放图的，但是画出来很乱，不美观，所以建议去 OI-wiki 上看 gif（虽然也很乱，但起码比作者画得好）。

多模式匹配

代码实现

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int query(char *t) {
  int u = 0, res = 0, len = strlen(t + 1);
  for (int i = 1; i <= len; i++) {
    u = tr[u][t[i] - 'a'];  // 转移
    for (int j = u; j && e[j] != -1; j = fail[j]) {
      res += e[j], e[j] = -1;
    }
  }
  return res;
}

$u$ 表示当前匹配到的节点，res 表示答案，e[j] 表示节点存储的信息（根据题目变化）。

循环遍历匹配串，$u$ 则不断跟踪字符，利用 $\text{fail}$ 指针找出所有匹配的模式串，累加到 res，然后标记已访问。

优化代码效率

这里可不是卡常，而是算法上的优化。

首先，大家可以去做一下 这道题。

发现会 T。这是因为在 AC 自动机中，每次匹配都会向 $\text{fail}$ 边跳来找到所有的匹配。这样效率极低，即是路径压缩也没用。

考虑一下 $\text{fail}$ 的性质：

一个 AC 自动机中，如果值保留 $\text{fail}$ 边，剩余的图一定是一棵树。

这个很显然，因为 $\text{fail}$ 不会成环，且深度一定比现在低。

AC 自动机的匹配就可以转化成在 $\text{fail}$ 树上的链求和问题了。

这里介绍拓扑排序。

拓扑排序优化建图

原来时间都浪费在“跳 $\text{fail}$”上了。如果预先记录，最后一并求和，那么效率就会被优化。

代码实现中，不需要真正的建图，记录入度就可以了。

查询操作也只需要给找到的节点的 ans 打标记，最后拓扑排序求答案就好了。

建图实现

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void getfail()  // 实际上也可以叫 build
{
  for (int i = 0; i < 26; i++) trie[0].son[i] = 1;
  q.push(1);
  trie[1].fail = 0;
  while (!q.empty()) {
    int u = q.front();
    q.pop();
    int Fail = trie[u].fail;
    for (int i = 0; i < 26; i++) {
      int v = trie[u].son[i];
      if (!v) {
        trie[u].son[i] = trie[Fail].son[i];
        continue;
      }
      trie[v].fail = trie[Fail].son[i];
      indeg[trie[Fail].son[i]]++;  // 修改点在这里，增加了入度记录
      q.push(v);
    }
  }
}

查询实现

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void query(char *s) {
  int u = 1, len = strlen(s);
  for (int i = 0; i < len; i++) u = trie[u].son[s[i] - 'a'], trie[u].ans++;
}

void topu() {
  for (int i = 1; i <= cnt; i++)
    if (!indeg[i]) q.push(i);
  while (!q.empty()) {
    int fr = q.front();
    q.pop();
    vis[trie[fr].flag] = trie[fr].ans;
    int u = trie[fr].fail;
    trie[u].ans += trie[fr].ans;
    if (!(--indeg[u])) q.push(u);
  }
}

主函数

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int main() {
  // do_something();
  scanf("%s", s);
  query(s);
  topu();
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    cout << vis[rev[i]] << std::endl;
  // do_another_thing();
}

完整代码就不挂了，洛谷题解区有一堆。

参考文献

• [1] OI-wiki，《AC 自动机》
• [2] DengDuck，《AC 自动机 ACAM 学习笔记》

结尾

一节晚修写完，除了板题，其他的题还没做，作者溜去做题了。

如有侵权，联系作者解决。

希望能帮到你，Thank you!