P4949 最短距离 题解

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P4949 最短距离 题解

题目大意

P4949 最短距离

Solution

鲜花:萌萌树剖题。

我这么水的人都手切这道题了,那肯定是道水紫吧。

正解:

首先如果给出的图只有 $n-1$ 条边,那就是棵树,那这题就是个树剖 RMQ 板子。

但是给出的图有 $n$ 条边,只比树多出一条边,构成了一棵基环树。这样就不是板子中的板子了(尽管还是很水)。

直觉的想法是把环上一条边暂时删掉,剩下的点又重新变成一棵树。

但是我不会啊。

其实是我马上想到了另一种方法:我们把环上挂着的子树用树剖处理 RMQ,环上的点再用树状数组搞一下 RMQ。到这里就完了。

还是细讲一下吧。

首先我们拓扑一下把环上的点搞出来,接着对这些点的子树都树剖处理(这里不用开多棵线段树,发现节点编号都不一样,而一棵子树的 dfn 序号都是连续的,所以可以共用一棵线段树)。

然后去 dfs 处理环上的边权,再搞进树状数组里。

查询的时候注意一下是否在同一棵子树、环上两种方向的贡献……

劇終。

代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define pii pair<int,int>
#define ft first
#define sd second
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls rt<<1
#define rs ls|1

const int N=2e5+5;

int n,m;
vector<pii> G[N];
vector<int> Ring;
int deg[N],a[N];
int sz[N],dep[N],fa[N],Rt[N],son[N],dfn[N],Id[N],tim,top[N];
int tr[N<<2];
struct edge
{
    int u,v,w;
}E[N];
int val[N];
bool vis[N];

void dfs1(int u,int pa,int root)
{
    dep[u]=dep[fa[u]=pa]+(sz[u]=1);
    Rt[u]=root;
    for(pii i:G[u]){
        if(i.ft==pa||deg[i.ft]>0)
            continue;
        int v=i.ft;
        a[v]=i.sd;
        dfs1(v,u,root);
        sz[u]+=sz[v];
        if(sz[son[u]]<sz[v])
            son[u]=v;
    }
}

void dfs2(int u,int tp)
{
    Id[dfn[u]=++tim]=u;
    top[u]=tp;
    if(!son[u])
        return;
    dfs2(son[u],tp);
    for(pii i:G[u])
        if(i.ft!=fa[u]&&i.ft!=son[u]&&deg[i.ft]<=0)
            dfs2(i.ft,i.ft);
}

void pushup(int rt)
{
    tr[rt]=tr[ls]+tr[rs];
}

void build(int rt,int l,int r)
{
    if(l==r){
        if(deg[Id[l]]>0)
            return;
        tr[rt]=a[Id[l]];
        return;
    }
    build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
    pushup(rt);
}

void update(int rt,int l,int r,int x,int k)
{
    if(l==r){
        tr[rt]=k;
        return;
    }
    if(x<=mid)
        update(ls,l,mid,x,k);
    else
        update(rs,mid+1,r,x,k);
    pushup(rt);
}

int query(int rt,int l,int r,int lf,int rg)
{
    if(lf>r||l>rg)
        return 0;
    if(lf<=l&&r<=rg)
        return tr[rt];
    return query(ls,l,mid,lf,rg)+query(rs,mid+1,r,lf,rg);
}

namespace R
{
    int tr[N],Id[N],n;
    void upd(int x,int k){
        for(;x<=n;x+=x&-x){
            tr[x]+=k;
        }
    }
    int qry(int x,int k=0){
        for(;x;x-=x&-x){
            k+=tr[x];
        }
        return k;
    }
    void dfs3(int u,int tp)
    {
        if(vis[u])
            return;
        vis[u]=1;
        for(pii i:G[u]){
            if(deg[i.ft]<=0)
                continue;
            if(Id[i.ft]==0)
                Id[i.ft]=Id[u]+1;
            if(vis[i.ft]==0||i.ft==tp)
                val[i.ft]=i.sd;
            dfs3(i.ft,tp);
        }
    }
}

bool cmp(int x,int y)
{
    return R::Id[x]<R::Id[y];
}

int Qry(int u,int v)
{
    int res=0;
    while(top[u]^top[v]){
        if(dep[top[u]]<dep[top[v]]) swap(u,v);
        res+=query(1,1,n,dfn[top[u]],dfn[u]);
        u=fa[top[u]];
    }
    if(dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    res+=query(1,1,n,dfn[u]+1,dfn[v]);
    return res;
}

signed main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int u,v,w;
        scanf("%lld%lld%lld",&u,&v,&w);
        G[u].push_back({v,w});
        G[v].push_back({u,w});
        deg[u]++,deg[v]++;
        E[i]={u,v,w};
    }
    
    queue<int> q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(deg[i]==1)
            q.push(i),deg[i]=-1;
    while(!q.empty()){
        int u=q.front();q.pop();
        for(pii i:G[u]){
            if(deg[i.ft]==-1)
                continue;
            --deg[i.ft];
            if(deg[i.ft]==1){
                deg[i.ft]=-1;
                q.push(i.ft);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(deg[i]>0){
            Ring.push_back(i);
            dfs1(i,0,i);
            dfs2(i,i);
        }

    build(1,1,n);
    R::Id[Ring[0]]=1;
    R::dfs3(Ring[0],Ring[0]);
    sort(Ring.begin(),Ring.end(),cmp);
    R::n=(int)Ring.size();
    
    for(int i=0;i<R::n;i++)
        R::upd(i+1,val[Ring[i]]);
    while(m--){
        int op,x,y,u,v;
        scanf("%lld%lld%lld",&op,&x,&y);
        if(op==1){
            u=E[x].u,v=E[x].v;
            if(deg[u]>0&&deg[v]>0){
                int pos=max(R::Id[u],R::Id[v]);
                if(min(R::Id[u],R::Id[v])==1&&pos==R::n)
                    pos=1;
                int tmp=R::qry(pos)-R::qry(pos-1);
                R::upd(pos,y-tmp);
            }else{
                int pos=(dep[u]<dep[v]?dfn[v]:dfn[u]);
                update(1,1,n,pos,y);
            }
        }else{
            if(deg[x]>0&&deg[y]>0){
                if(R::Id[x]>R::Id[y])
                    swap(x,y);
                int t1=R::qry(R::Id[y])-R::qry(R::Id[x]);
                int t2=R::qry(R::Id[x])+R::qry(R::n)-R::qry(R::Id[y]);
                printf("%lld\n",min(t1,t2));
            }else{
                if(Rt[x]^Rt[y]){
                    int res=Qry(Rt[x],x)+Qry(Rt[y],y);
                    if(R::Id[Rt[x]]>R::Id[Rt[y]])
                        swap(x,y);
                    int t1=R::qry(R::Id[Rt[y]])-R::qry(R::Id[Rt[x]]);
                    int t2=R::qry(R::Id[Rt[x]])+R::qry(R::n)-R::qry(R::Id[Rt[y]]);
                    printf("%lld\n",res+min(t1,t2));
                }else{
                    printf("%lld\n",Qry(x,y));
                }
            }
        }
    }
    return 0;
}